Merangkum Peluang, Permutasi dan Kombinasi Matematika

Definisi peluang :
Peluang adalah suatu kejadian yang diinginkan adalah perbandingan banyaknya titik sampel kejadian yang diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sampel kejadian tersebut.
Misalkan A adalah suatu kejadian yang diinginkan, maka nilai peluang kejadian A dinyatakan dengan berikut ->

1.Permutasi 

Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga 
Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis atau .
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !

Contoh 5 soal permutasi :

1) Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?

Jawab :

Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :
2) Di kantor pusat DJBC Ada 3 orang staff yang dicalonkan untuk menjadi mengisi kekosongan 2 kursi pejabat eselon IV. Tentukan banyak cara yang bisa dipakai untuk mengisi jabatan tersebut?

jawab : Permutasi P (3,2), dengan n =3 (banyaknya staff) dan k =2 (jumlah posisi yang akan diisi)

3) Misal sobat rumushitung beri 5 angka 3,4,5,6, dan 7 dan rumushitung minta sobat untuk membuat angka yang terdiri dari 3 digit yang tidak berulang, sekarang berapa banyak bilangan yang lebih dari 400 yang bisa sobat hitung buat?

Jawab :

• karena bilangannya lebih dari 400 maka kotak pertama bisa diisi dengan 4 angka yaitu 4,5,6, dan 7
• karena tidak boleh berulang maka kotak kedua dan ketiga masing-masing bisa diisi 4 angk dan 3 angka
• jadi totol angka yang lebih dari 400 ada 4 x 4 x 3 = 48 angka

4) Hitunglah P (5, 2)

    Jawab:

    P (5, 2) = 5!/(5-2)!

                 = 5!/3!

                 = 5 x 4 x 3!/3!

                 = 20

5) Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka yang berbeda yang dapat disusun dari angka-angka 3, 5, dan 7?

Jawab: 

Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka berbeda dan disusun dari angka-angka 3, 5, dan 7 adalah sama dengan permutasi yang terdiri atas dua unsur yang dipilih dari 3 unsur, P (3, 2)

P (3, 2) = 3!/(3-2)!

             = 3!/1!

             = 3 x 2 x 1!/1!

             = 2 x 3

             = 6

2.Kombinasi 

Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan , 

Contoh 5 soal kombinasi :
1) Diketahui himpunan  .
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).


2) Hitunglah C (5, 2)

    Jawab:

    C (5, 2) = 5!/(5-2)!2!

                 = 5!/3! 2!

                 = 5 x 4 x 3!/3! 2!

                 = 5 x 4/2 x 1

                 = 20/2

                 = 10

3) Dari 3 siswa, yaitu Budi, Rendi, dan Rema akan dibentuk pasangan ganda bulu tangkis. Berapa pasangan ganda yang dapat dibentuk dari ketiga siswa tersebut?

Jawab:

Banyaknya pasangan ganda bulu tangkis yang dapat dibentuk adalah C(3, 2)

C (3, 2) = 3!/(3-2)! 2!

             = 3!/1! 2!

             = 3 x 2!/1! 2!

             = 3/1

             = 3

4) Dalam babak penyisihan suatu turnamen, 25 pecatur satu sama lain bertanding satu kali. Banyaknya pertandingan yang terjadi adalah...

Jawab:

Dalam babak penyisihan, 25 pecatur satu sama lain bertanding satu kali. Untuk menentukan banyaknya pertandingan yang terjadi digunakan kombinasi, karena tidak melihat urutannya lagi.

C (25, 2) = 25!/(25-2)! 2!

               = 25!/23! 2!

               = 25 x 24 x 23!/23! 2!

               = 25 x 24/ 2 x 1

               = 600/2

               = 300

5) Suatu pertemuan dihadiri oleh 15 orang undangan. Jika mereka saling berjabat tangan, banyak jabat tangan yang terjadi dalam pertemuan itu adalah ....

Jawab :

Banyak jabat tangan = C(15,2)

15!/(2!13!) = 105

^_^Terimakasih^_^